3.2

<body topmargin=0 leftmargin=0 marginheight=0 marginwidth=0> <table cellpadding=0 cellspacing=0 border=0><tr> <td valign="top" colspan=2 height=24 BGCOLOR="#003366" TEXT="#F7F7FF"> <div> <FONT SIZE="4" COLOR="#FFFFFF" FACE="Bell MT" ><A HREF="index.htm" TARGET="_top" TITLE="Ecuaciones diferenciales"><U><B>Ecuaciones diferenciales</B></U></A><B>  | </B></FONT><A HREF="index.htm" TARGET="_top" TITLE="Ecuaciones diferenciales"><U><B>Home</B></U></A><B> | </B><A HREF="id118.htm" TARGET="_top" TITLE="C o n t e n i d o"><U><B>Contenido</B></U></A><B> | </B><A HREF="id31.htm" TARGET="_top" TITLE="B o y c e y D i P r i m a"><U><B>Boyce y DiPrima</B></U></A><B> </B></div> <div> <A HREF="id131.htm" TARGET="_top" TITLE="1.1"><U>1.1</U></A>   |   <A HREF="id132.htm" TARGET="_top" TITLE="2.1"><U>2.1</U></A>   |   <A HREF="id133.htm" TARGET="_top" TITLE="2.2"><U>2.2</U></A>   |   <A HREF="id135.htm" TARGET="_top" TITLE="2.3"><U>2.3</U></A>   |   <A HREF="id137.htm" TARGET="_top" TITLE="2.4"><U>2.4</U></A>   |   <A HREF="id136.htm" TARGET="_top" TITLE="2.5"><U>2.5</U></A>   |   <A HREF="id274.htm" TARGET="_top" TITLE="2.10"><U>2.10</U></A>   |   <A HREF="id138.htm" TARGET="_top" TITLE="3.1"><U>3.1</U></A>   |   <B>3.2</B>   |   <A HREF="id140.htm" TARGET="_top" TITLE="7.2(a)"><U>7.2(a)</U></A>   |   <A HREF="id143.htm" TARGET="_top" TITLE="8.1"><U>8.1</U></A></div> <div> </div> </td> </tr><tr> <td valign="top" width=165 BGCOLOR="#FFFFFF" TEXT="#080000"> <div> <B> <script async src="//pagead2.googlesyndication.com/pagead/js/adsbygoogle.js"></script>  <ins class="adsbygoogle" style="display:inline-block;width:160px;height:600px" data-ad-client="ca-pub-1578463498418701" data-ad-slot="3073775660"></ins> <script> (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); </script>  </B></div> </td> <td valign="top" height=456 BGCOLOR="#FFFFFF" TEXT="#080000"> <div> <B>Ecuaciones lineales de segundo orden</B></div> <div> <B>Problemas </B><B>3.2</B></div> <bR> <div>  <script async src="//pagead2.googlesyndication.com/pagead/js/adsbygoogle.js"></script>  <ins class="adsbygoogle" style="display:inline-block;width:728px;height:90px" data-ad-client="ca-pub-1578463498418701" data-ad-slot="5388515922"></ins> <script> (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); </script>  </div> <div>  <A NAME="arriba"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A>Arriba</div> <div> <TABLE BORDER="0" CELLPADDING="4" CELLSPACING="1" WIDTH="904" BORDERCOLORLIGHT="#006666" BORDERCOLORDARK="#006666" FRAME="VOID" RULES="NONE" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0" > <tR> <tD VALIGN=TOP COLSPAN=3 BGCOLOR=#003366 HEIGHT= 23 ><NOBR><div> <B>Soluciones fundamentales de las ecuaciones lineales homogéneas</B></div> </NOBR></tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 23 WIDTH="292"><div> <A HREF="#wronskiano_" TITLE="3.2"><U><IMG BORDER="0" SRC="Symb075c00b7011866660000.gif" HEIGHT="19" WIDTH="24" ALIGN="bottom" HSPACE="0" VSPACE="0">Wronskiano</U></A></div> </tD> <tD VALIGN=TOP COLSPAN=2 WIDTH="585"><div> <A HREF="#existencia_y_unicidad" TITLE="3.2"><U><IMG BORDER="0" SRC="Symb075c00b7011866660000.gif" HEIGHT="19" WIDTH="24" ALIGN="bottom" HSPACE="0" VSPACE="0">Teorema de existencia y unicidad</U></A></div> </tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 23 ><NOBR><div> <A HREF="#principio_de_superposición" TITLE="3.2"><U><IMG BORDER="0" SRC="Symb075c00b7011866660000.gif" HEIGHT="19" WIDTH="24" ALIGN="bottom" HSPACE="0" VSPACE="0">Principio de superposición</U></A></div> </NOBR></tD> <tD VALIGN=TOP WIDTH="292"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="23" ALIGN="bottom" WIDTH="292" HSPACE="0" VSPACE="0"></tD> <tD VALIGN=TOP WIDTH="292"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="23" ALIGN="bottom" WIDTH="292" HSPACE="0" VSPACE="0"></tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#CCFFFF HEIGHT= 23 ><NOBR><div> <A HREF="#enunciados" TITLE="3.2"><U><IMG BORDER="0" SRC="Symb075c00b7011866660000.gif" HEIGHT="19" WIDTH="24" ALIGN="bottom" HSPACE="0" VSPACE="0">Enunciados de los ejercicios</U></A></div> </NOBR></tD> <tD VALIGN=TOP WIDTH="292"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="23" ALIGN="bottom" WIDTH="292" HSPACE="0" VSPACE="0"></tD> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#CCFFCC><NOBR><div> <A HREF="#soluciones" TITLE="3.2"><U><IMG BORDER="0" SRC="Symb075c00b7011866660000.gif" HEIGHT="19" WIDTH="24" ALIGN="bottom" HSPACE="0" VSPACE="0">Soluciones de los ejercicios</U></A></div> </NOBR></tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP COLSPAN=3 BGCOLOR=#003366 HEIGHT= 23 WIDTH="878"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="23" ALIGN="bottom" WIDTH="878" HSPACE="0" VSPACE="0"></tD> </tR> </TABLE></div> <div>  <A NAME="wronskiano_"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A>Wronskiano </div> <div> <B>Wron</B><B>skia</B><B>no</B>: </div> <div> Para un sistema de ecuaciones 2x2 formado por dos funciones que son soluciones de una ecuación diferencial dada, y las derivadas de estas funciones, el determinante del sistema que en este contexto se denomina Wronskiano, <I>W</I>, está dado por:</div> <DIV ALIGN="LEFT"></DIV> <div> <IMG SRC="150217390.gif" border=0 width="279" height="57" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div>  <A NAME="existencia_y_unicidad"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A>Existencia y unicidad</div> <div> <B>Teorema de existencia y unic</B><B>i</B><B>dad</B><FONT SIZE="4" COLOR="#000000" FACE="Georgia" >: </FONT></div> <div> Sea el problema con valor inicial:</div> <div>                          <IMG SRC="15036f1c0.gif" border=0 width="367" height="28" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> en donde <I>p</I>, <I>q</I> y <I>g</I> son continuas en un intervalo <I>I</I> que contiene a <I>x</I><FONT SIZE="2" COLOR="#000000" FACE="Georgia" >o</FONT>; entonces existe exactamente una solución <I>y</I> = <I>f</I>(<I>x</I>) de este problema y la solución existe en todo el intervalo.</div> <div>  <A NAME="principio_de_superposición"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A>Principio de superposición</div> <div> <B>Teorema (Princ</B><B>ipio</B><B> de superposición)</B></div> <div> <IMG SRC="1504c4310.gif" border=0 width="964" height="49" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <DIV ALIGN="LEFT"></DIV> <div>  <A NAME="enunciados"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A>Enunciados</div> <div> <B>Enunciados de los problemas 3.2</B></div> <bR> <div> <B>E</B><FONT SIZE="4" COLOR="#003333" FACE="Georgia" >nunciados de los ejercicios y problemas (pulse sobre el ícono de la imagen <IMG SRC="c4118180.jpg" border=0 width="24" height="24" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"> o el video <IMG SRC="c4218180.jpg" border=0 width="24" height="24" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"> correspondiente para que observe la solución que se da paso a paso).</FONT></div> <div> <FONT SIZE="4" COLOR="#009900" FACE="Georgia" ><B>E</B></FONT>n cada uno de los problemas <FONT SIZE="4" COLOR="#CC0033" FACE="Georgia" >1</FONT> a<FONT SIZE="4" COLOR="#CC0033" FACE="Georgia" > 6</FONT>, encuentre el wronskiano del par dado de funciones:</div> <div> <FONT SIZE="4" COLOR="#000000" FACE="Bell MT" ><IMG SRC="f22931d0.gif" border=0 width="147" height="29" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"> </FONT><A HREF="#1_1" TITLE="3.2"><U><IMG SRC="c4118180.jpg" border=0 width="24" height="24" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A>      <A HREF="#6" TITLE="3.2"><U><IMG SRC="f28e11b0.gif" border=0 width="225" height="27" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"> </U></A><A HREF="#6" TITLE="3.2"><U><IMG SRC="c4118180.jpg" border=0 width="24" height="24" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A> </div> <div> <FONT SIZE="4" COLOR="#009900" FACE="Georgia" ><B>E</B></FONT>n cada uno de los problemas <FONT SIZE="4" COLOR="#CC0033" FACE="Georgia" >7</FONT> a<FONT SIZE="4" COLOR="#CC0033" FACE="Georgia" > 12</FONT>, determine el mayor intervalo en el que se tiene la certeza de que el problema con valor inicial dado posee una solución única por lo menos dos veces diferenciable:</div> <div> <FONT SIZE="4" COLOR="#000000" FACE="Bell MT" ><A HREF="#7" TITLE="3.2"><U><IMG SRC="f2907180.gif" border=0 width="263" height="24" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"> </U></A></FONT><A HREF="#7" TITLE="3.2"><U><IMG SRC="c4118180.jpg" border=0 width="24" height="24" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A>       <A HREF="#11" TITLE="3.2"><U><IMG SRC="f2e881f0.gif" border=0 width="392" height="31" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A> <A HREF="#11" TITLE="3.2"><U><IMG SRC="c4118180.jpg" border=0 width="24" height="24" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> <div> <A HREF="#13" TITLE="3.2"><U><IMG SRC="f32cb370.gif" border=0 width="971" height="55" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A><A HREF="#13" TITLE="3.2"><U><IMG SRC="c4118180.jpg" border=0 width="24" height="24" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> <div> <A HREF="#14" TITLE="3.2"><U><IMG SRC="f35a73c0.gif" border=0 width="935" height="60" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A><A HREF="#14" TITLE="3.2"><U><IMG SRC="c4118180.jpg" border=0 width="24" height="24" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> <div> <A HREF="#15" TITLE="3.2"><U><IMG SRC="f38d52f0.gif" border=0 width="981" height="47" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A><A HREF="#15" TITLE="3.2"><U><IMG SRC="c4118180.jpg" border=0 width="24" height="24" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> <div> <A HREF="#16" TITLE="3.2"><U><IMG SRC="f3b93390.gif" border=0 width="915" height="57" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A><A HREF="#16" TITLE="3.2"><U><IMG SRC="c4118180.jpg" border=0 width="24" height="24" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> <div> <A HREF="#17" TITLE="3.2"><U><IMG SRC="f3f451d0.gif" border=0 width="581" height="29" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A> <A HREF="#17" TITLE="3.2"><U><IMG SRC="c4118180.jpg" border=0 width="24" height="24" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> <div> <A HREF="#19" TITLE="3.2"><U><IMG SRC="f42a7390.gif" border=0 width="935" height="57" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A><A HREF="#19" TITLE="3.2"><U><IMG SRC="c4118180.jpg" border=0 width="24" height="24" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> <DIV ALIGN="LEFT"></DIV> <div>  <A NAME="soluciones"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A>Soluciones</div> <div> <B>Soluciones de los pronlemas 3.2</B></div> <div> | <A HREF="#1_1" TITLE="3.2"><U>1</U></A> | <A HREF="#6" TITLE="3.2"><U>6</U></A> | <A HREF="#7" TITLE="3.2"><U>7</U></A> | <A HREF="#11" TITLE="3.2"><U>11</U></A> | <A HREF="#13" TITLE="3.2"><U>13</U></A> | <A HREF="#14" TITLE="3.2"><U>14</U></A> | <A HREF="#15" TITLE="3.2"><U>15</U></A> | <A HREF="#16" TITLE="3.2"><U>16</U></A> | <A HREF="#17" TITLE="3.2"><U>17</U></A> | <A HREF="#19" TITLE="3.2"><U>19</U></A> |</div> <bR> <div> <FONT SIZE="4" COLOR="#009900" FACE="Georgia" ><B>E</B></FONT>n cada uno de los problemas <FONT SIZE="4" COLOR="#CC0033" FACE="Georgia" >1</FONT> a<FONT SIZE="4" COLOR="#CC0033" FACE="Georgia" > 6</FONT>, encuentre el wronskiano del par dado de funciones:</div> <div>  <A NAME="1_1"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><FONT SIZE="1" COLOR="#FFFFFF" FACE="Bell MT" >1</FONT></div> <div> <IMG SRC="f25843d0.gif" border=0 width="900" height="317" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0">            </div> <div>  <A NAME="6"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A>6</div> <div> <B><IMG SRC="f27ad4d0.gif" border=0 width="941" height="333" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></B></div> <bR> <div> <FONT SIZE="4" COLOR="#009900" FACE="Georgia" ><B>E</B></FONT>n cada uno de los problemas <FONT SIZE="4" COLOR="#CC0033" FACE="Georgia" >7</FONT> a<FONT SIZE="4" COLOR="#CC0033" FACE="Georgia" > 12</FONT>, determine el mayor intervalo en el que se tiene la certeza de que el problema con valor inicial dado posee una solución única por lo menos dos veces diferenciable:</div> <div> <IMG BORDER="0" SRC="Symb075c00b700a0ffffff00.gif" HEIGHT="11" WIDTH="24" ALIGN="bottom" HSPACE="0" VSPACE="0"><A NAME="7"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A>7</div> <div> <IMG SRC="f2cdc070.gif" border=0 width="988" height="263" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0">  </div> <div>  <A NAME="11"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A>11</div> <div> <IMG SRC="f2fdc410.gif" border=0 width="988" height="321" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div>  <A NAME="13"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A>13</div> <div> <IMG SRC="f31cbfd0.gif" border=0 width="971" height="509" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div>  <A NAME="14"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A>14</div> <div> <IMG SRC="f34d8640.gif" border=0 width="984" height="612" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div>  <A NAME="15"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A>15</div> <div> <IMG SRC="f37d8950.gif" border=0 width="984" height="405" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div>  <A NAME="16"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A>16</div> <div> <IMG SRC="f3c977f0.gif" border=0 width="919" height="383" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div>  <A NAME="17"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A>17</div> <div> <IMG SRC="f3ea85f0.gif" border=0 width="680" height="351" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div>  <A NAME="19"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A>19</div> <div> <IMG SRC="f41a7630.gif" border=0 width="935" height="355" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <DIV ALIGN="LEFT"></DIV> <div>  <script async 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